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卡爾曼濾波算法(含詳細推導)ppt課件

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卡爾曼濾波算法及推導 1、kalman濾波問題 考慮一離散時間的動態系統,它由描述狀態向量的過程方程和描述觀測向量的觀測方程共同表示。 (1)、過程方程 式中,M 1向量x(n)表示系統在離散時間n的狀態向量,它是不可觀測的;M M矩陣F(n+1,n)成為狀態轉移矩陣,描述動態系統在時間n的狀態到n+1的狀態之間的轉移,應為已知。而M 1向量 為過程噪聲向量,它描述狀態轉移中間的加性噪聲或誤差。 1、kalman濾波問題 (1)、觀測方程 式中,N 1向量y(n)表示動態系統在時間n的觀測向量; N M矩陣C(n)稱為觀測矩陣(描述狀態經過其作用,變成可預測的),要求也是已知的;v2(n)表示觀測噪聲向量,其維數與觀測向量的相同。過程方程也稱為狀態方程,為了分析的方便,通常假定過程噪聲v1(n)和觀測噪聲v2(n)均為零均值的白噪聲過程,它們的相關矩陣分別為: 1、kalman濾波問題 1、kalman濾波問題 還假設狀態的初始值x(0)與v1(n) 、 v2(n),n 0均不相關,并且噪聲向量v1(n)與v2(n)也不相關,既有: 2、新息過程 考慮一步預測問題,給定觀測值y(1), ...,y(n-1),求觀測向量y(n)的最小二乘估計,記作 (1)、新息過程的性質 y(n)的新息過程定義為: 式中,N 1向量 表示觀測數據y(n)的新的信息,簡稱新息。 2、新息過程 新息 具有以下性質: 性質1 n時刻的新息 與所有過去的觀測數據y(1), ...,y(n-1)正交,即: 性質2 新息過程由彼此正交的隨機向量序列{ } 組成,即有 2、新息過程 性質3 表示觀測數據的隨機向量序列{y(1) ,…y(n)}與表示新息過程的隨機向量序列{a(1),…a(n)} 一一對應 ,即 以上性質表明:n時刻的新息a(n)是一個與n上課之前的觀測數據y(1), ...,y(n-1)不相關,并具有白噪聲性質的隨機過程,但它卻能夠提供有關y(n)的新息,這就上信息的內在物理含義。 2、新息過程 (2)、新息過程的計算 下面分析新息過程的相關矩陣 在kalman濾波中,并不直接估計觀測數據向量的進一步預測 ,而是先計算狀態向量的一步預測 然后再用到下式得到 : 2、新息過程 將上式代入新息過程的定義式(6),可得到: 這就是新息過程的實際計算公式,條件是:一步預測的狀態向量估計 業已求出。 定義向量的一步預測誤差: 2、新息過程 將此式代入式(13),則有 在新息過程的相關矩陣定義式(10)中代入式(14),并注意到觀測矩陣C(n)是一已知的確定矩陣,故有 式中Q2(n)是觀測噪聲v2(n)的相關矩陣,而 表示(一步)預測狀態誤差的相關矩陣 3、kalman濾波算法 由上一節的的新息過程的相關知識和信息后,即可轉入kalman濾波算法的核心問題的討論:如何利用新息過程估計狀態向量的預測?最自然的方法是用新息過程序列a(1),…a(n)的線性組合直接構造狀態向量的一布預測: 式中W1(k)表示與一步預測項對應的權矩陣,且k為離散時間,F在的問題是如何確定這個權矩陣? (1)、狀態向量的一布預測 根據正交性原理,最優預測的估計誤差 3、kalman濾波算法 應該與已知值正交,故有 將式(18)代入(19),并利用新息過程的正交性,得到 由此可以求出權矩陣的表達式: 3、kalman濾波算法 將式(20)代入式(18),狀態向量的一步預測的最小均方估計可表示為 注意到 并利用狀態方程(1),易知下式對k=0,1,…,n成立: 3、kalman濾波算法 將式(22)代入式(21)右邊第一項(求和項),可將其化簡為: 3、kalman濾波算法 若定義 并將式(23)和式(24)代入式(21),則得到狀態向量一步預測的更新公式: 式(25)在kalman濾波算法中起著關鍵的作用,因為它表明,n+1時刻的狀態向量的一步預測分為非自適應(即確定)部分 和自適應(即校正)部分G(n)a(n)。從這個意義上講,G(n)稱為kalman增益(矩陣)是合適的。 3、kalman濾波算法 (2)、 kalman增益的計算 為了完成kalman自適應濾波算法,需要進一步推導kalman增益的實際計算公式。由定義式(24)知,只需要推導期望項 的具體計算公式即可。 將新息過程的計算公式(13)代入式(22),不難得出: 這里使用了狀態向量與觀測噪聲不相關的事實。進一步地,由正交原理引理知,在最小均方誤差準則下求得的一步預測估 與預測誤差e(n,n-1)彼此正交,即 3、kalman濾波算法 因此,由式(26)及式(27)易得: 將式(27)代入式(24),便得到kalman增益的計算公式如下: 式中R(n)是信息過程的相關矩陣,由式(10)定義。 3、kalman濾波算法 (3)、Riccati方程 由式(28)表示的kalman增益與預測狀態誤差的相關矩陣K(n,n-1)有關,為了最后完成kalman自適應濾波算法,還需要再推導K(n,n-1)的遞推公式。 考察狀態向量的預測誤差: 將狀態方程(1)和狀態向量的一步預測更新公式(25)代入式(29)中,有: 將觀測方程(2)代入上式,并代入 ,則有: 3、kalman濾波算法 求式(3)所示狀態向量的一步預測誤差向量的相關矩陣,容易證明: 式中使用了e(n+1,n),v1(n),v2(n)彼此不相關的事實,以及 和 等關系式。 對式(31)的右邊進行展開,然后代入式(28)和(29),可以證明:狀態向量預測誤差的相關矩陣的遞推公式為: 式中 式(32)稱為Riccati差分方程。 3、kalman濾波算法 若定義 是利用已知的y(1),…,y(n)求得的狀態向量的濾波估計,則 定義濾波狀態向量的誤差向量,可以證明: 因此,Riccati差分方程中的矩陣P(n)事實上是濾波誤差狀態向量的相關矩陣。 (4)、kalman濾波算法 將上面推導得到的式(28)、(16)、(13)、(25)、(33)和(32)依次加以歸納,得到基于一步預測的kalman自適應濾波算法如下。 初始條件: 3、kalman濾波算法 輸入觀測向量過程: 觀測向量={y(1),…,y(n)} 已知參數: 狀態轉移矩陣F(n+1,n) 觀測矩陣C(n) 過程噪聲向量的相關矩陣Q1(n) 觀測噪聲向量的相關矩陣Q2(n) 計算:n=1,2,3,… 3、kalman濾波算法 Kalman濾波器是一種線性的離散時間有限維系統。Kalman濾波器的估計性能是:它使濾波后的狀態估計誤差的相關矩陣P(n)的跡最小化。這意味著,kalman濾波器是狀態向量x(n)的線性最小差估計。 由前面的公式可以得出kalman濾波算法的結構圖,如下: 3、kalman濾波算法

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